LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.": http://123doc.vn/document/1051150-ly-thuyet-nhieu-loan-va-so-do-vong-lap-trong-phuong-phap-toan-tu-cho-viec-tim-nang-luong-co-ban-cua-nguyen-tu-hydro.htm
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4
dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và
bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên
tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên
cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một
tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh
những tính chất của hệ thực tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của
vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán
về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này,
ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung
lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử
momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự
phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí
qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã
cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị
nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là
hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều
chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính
bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm
vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng
lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà
không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số
biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau
mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,
để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri
sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng
cần tìm.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5
Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên
cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc
tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.
3) Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn
và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa
chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.
4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ
những
khó
khăn
của
lý
thuyết
nhiễu
loạn
khi
giải
quyết
bài
toán
nguyên
tử
hydro
trong
trường
ngoài
trung
bình
và
những
ưu
điểm
vượt
trội
của
phương
pháp
toán
tử
so
với
phương
pháp
nhiễu
loạn,
nên
phương
pháp
toán
tử
là
phương
pháp
chính
được
sử
dụng
trong
quá
trình
thực
hiện
luận
văn
này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử
cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
5)
C
ấ
u t
rú
c c
ủ
a
lu
ậ
n v
ă
n
T
ừ
mục
tiêu
và
dự
kiến
kết
quả
đạt
đ
u
ợc,
em
xây
dựng
cấu
trúc
luận
văn
gồm
3
phần
chính:
Phần
mở
đầu
:
Nêu
lên
tình
hình
nghiên
cứu
vấn
đề,
lý
do
chọn
đề
tài,
ph
ươ
ng pháp
nghiên
cứu
và
dự
kiến
kết
quả
đạt
đ
u
ợc.
Phần
nội
dung
:
gồm
4
ch
ươ
ng
Ch
ươ
ng
1
:
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 6
HYDRO
Ch
ươ
ng
này
trình
bày
những
kết
quả
mà
c
ơ
học
l
u
ợng
tử
đã
đạt
đ
u
ợc
về
bài
toán nguyên
tử
hydro:
năng lượng, hàm sóng
…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC
BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH
NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Nêu mục đích của sơ đồ lặp.
Thiết lập sơ đồ vòng lặp.
Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Nhận xét kết quả thu được.
Phần
kết
luận
:
tóm
tắt
lại
kết
quả
đã
đạt
đ
u
ợc
của
luận
văn,
h
u
ớng
phát
triển sắp
tới
của
đề
tài.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 7
NỘI
DUNG
1 Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO
1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro
[2],[4]
1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro
Thế năng của một hạt khối lượng m
o
chuyển động trong một trường lực
đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r).
Do đó hamilton của hạt có dạng:
2
2
ˆ
( )
2
O
H U r
m
(1.1)
Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách
1 2
r r
giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học
giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác
1 2
( )
U r r
rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn
trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô
.
e p
e p
m m
m m
. Vì
p e
m m
nên
e
m
.
Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt
electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.
Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt
nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:
2
( )
Ze
U r
r
(CGS) (1.2)
Trong đó:
Ze là điện tích của hạt nhân.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 8
U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với
nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng.
Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu.
Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp
này có dạng:
2
2
( ) 0
e
m
E U r
(1.3)
Trong tọa độ cầu, toán tử
có dạng
,
2
2
2
2
,
2 2
2
2 2 2
1
1
1 1
sin
sin sin
1 1 1
sin
sin sin
r
r
r
r
r
r r r
r
(1.4)
Thay (1.4) vào (1.3) ta được:
2
,
2 2 2
21 1
( ) ( ) 0
e
m
r E U r
r r r r
(1.5)
Do
2
,
2
ˆ
L
nên ta viết lại (1.5) như sau:
2
2
2 2 2 2
ˆ
2
1
( ) ( ) 0
e
m
L
r E U r
r r r r
(1.6)
Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường
đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật
bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định
luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9
gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử
2
ˆ
L
và
ˆ
z
L
với
ˆ
H
.
Trong trường hợp này
ˆ
H
có dạng:
2 2
2
2 2
ˆ
1
ˆ
( ) ( )
2 2
e
L
H r U r
r r r m r
(1.7)
Ta thấy
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
HL L H
;
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
Z Z
HL L H
(1.8)
Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc
,
nên giao hoán với
các toán tử lấy vi phân theo r.
Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong
trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình
phương mômen
2
ˆ
L
và hình chiếu mômen
ˆ
Z
L
. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng
,
( , , ) ( ). ( , )
nlm n l m
r R r Y
(1.9)
Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị
riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số
lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
2
ˆ
( 1)
lm lm
LY l l Y
ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm
( )
nl
R r
của
hàm sóng
( , , )
nlm
r
:
2 2
2
2 2 2
1
2
1
( ) 0
2
e
e
l l
m
d dR Ze
r E R r
r dr dr r m r
(1.10)
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hiđrô
4 2
2 2
2
n
me Z
E E
n
(CGS) (1.11)
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10
Trong hệ không thứ nguyên
1
m e
thì:
2
2
2
n
Z
E E
n
(1.12)
Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình
phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn
đối với hàm sóng ở vô cực.
Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất
1
13,6
E eV
.
Khi n càng tăng thì các mức
n
E
liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi
n
thì
0
n
E
.
Một số mức năng lượng kích thích
2 3
3,4 ; 1,5 ;
E eV E eV
Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng
2 4
2
2
mZ e
và kết thúc ứng với năng lượng 0.
Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì
l
có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của
l
;
l
gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng
1
L l l
(1.13)
Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng
, , ,
nlm nl lm
r R r Y
gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.
Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
, 1, , 1,0,1, , 1,
m l l l l
. Tất cả có
2 1
l
giá trị của m. Lượng tử số m
xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z
z
L m
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11
Như vậy, ứng với một mức năng lượng E
n
có nhiều trạng thái khác
nhau
nlm
, ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái
suy biến có cùng giá trị năng lượng E
n
là
1
2
0
2 1
n
l
l n
(1.14)
Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản
1
E
không suy biến, mức
kích thích thứ nhất
2
E
suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai
3
E
suy biến bậc
9
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng
2
2
n
.
1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô
Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:
, , ,
nlm nl lm
r R r Y
Với
2
2
2
o
o
Zr
và a
na me
(1.15)
a
0
: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần
, ,
nlm
r
của các hệ giống hydro ứng với
các giá trị n=1, 2, 3,…
n l m
, ,
nl m
r
1 0 0
3 / 2
0 0
1
( / ) exp( / 2 )
Z a Zr a
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12
2
2
2
0
1
1
0
0
1
3 / 2
0 0 0
1
( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 )
2 2
Z a Zr a Zr a
3 / 2
0 0 0
1
( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos
4 2
Z a Zr a Zr a
3/ 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 2 )sin exp( )
8
Z a Zr a Zr a i
3
3
3
3
3
3
0
1
1
2
2
2
0
0
1
0
1
2
3/2 2 2 2
0 0 0 0
1
( / ) (1 2 /3 2 /27 )exp( /3 )
3 3
Z a Zr a Z r a Zr a
3/ 2
0 0 0 0
2 2
( / ) (1 / 6 )( )exp( /3 )cos
27
Z a Zr a Zr a Zr a
3/2
0 0 0 0
2
( / ) (1 /6 )( / )exp( /3 )sin
27
i
Z a Zr a Zr a Zr a e
3/ 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )(3cos 1)
81 6
Z a Z r a Zr a
3/ 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )sin cos
81
i
Z a Z r a Zr a e
3/ 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 3 )sin
162
i
Z a Z r a Zr a e
1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử
hidro
[12]
Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:
2 2
0
Δψ( ) ( ) ( )
2 4
Ze
r r E r
m r
(1.16)
Trong đó
,
m e
– lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử;
Z
là số
điện tích.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 13
Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt
0
x a x
,
0
y a y
,
0
z a z
với
2 2
0 0
4 /
a me
là bán kính Bohr. Khi đó phương
trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:
1
Δ ψ( ) ( )
2
Z
r r
r
(1.17)
Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là
0
a
và
2 2
0
/
ma
. Ta có thể
viết dưới dạng tường minh như sau:
ˆ
( , , ) ( , , )
H x y z x y z
(1.18)
Với:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
ˆ
2
Z
H
x y z
x y z
(1.19)
Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:
1 1
,
2 2
a a
(1.20)
với
, ,
x y z
, trong đó
là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau
Dễ dàng thấy rằng
, 1
a a
(1.21)
(Phụ lục1trang 46)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta
viết lại các thành phần trong Hamiltonian
H
trong biểu thức (1.19) qua biểu
diễn các toán tử sinh huỷ này.
1.2.1 Toán tử động năng
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
2 2
T
H
x y z
(1.22)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét