vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều": http://123doc.vn/document/1050916-vai-ung-dung-giai-tich-phuc-vao-dai-so-deu.htm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH




Trần Minh Tạo



VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU




Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP


Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





Trần Minh Tạo




VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
1
MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phức là một chuyên ngành của giải tích toán học, có nhiều ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đặt biệt giải tích phức có những ứng
dụng khá thú vị và sâu sắc trong đại số.
Tôi chọn đề tài này là để tìm hiểu sâu sắc về giải tích phức.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những tri thức của giải tích phức và xem xét một vài ứng dụng
của nó trong đại số, đặc biệt là đại số đều.
3. Đối tượng nghiên cứu
Giải tích phức
4. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết hàm nhiều biến phức.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về giải tích phức.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể :
Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài.
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu những tính chất của hàm chỉnh hình .
Chương 2 : Bao chỉnh hình.
Chương 3 : Ứng dụng vào đại số đều.
2
Phần kết luận :
Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được và đưa ra
những đề xuất (nếu có ).























3
Chương 1
TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH

Ta kí hiệu
ℝ
là tập số thực,
ℂ
là tập số phức,
n

= × × ×
ℂ ℂ ℂ ℂ
là tích
Descartes c
ủ
a n m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c. Các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
n
ℂ

đượ
c kí hi
ệ
u là
(
)
1 2 n
z = z ,z , ,z
,
ở đây
j j j
z x iy
= +
,
j j
x ,y
∈
ℝ
,
2
i 1
= −
. Mô
đ
un c
ủ
a
j
z
kí hi
ệ
u
là
j
z
và mô
đ
un
z
c
ủ
a z
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a

{
}
j
z max z ;1 j n
= ≤ ≤
.
V
ớ
i
n
w
∈
ℂ
và
(
)
n
1 2 n
r = r ,r , ,r ∈
ℝ
,
j
r 0
>
, ta g
ọ
i

(
)
w;r
∆ =
(
)
1 n 1 n
w , ,w ;r , ,r
∆ =
{
}
n
j j j
z ; z w r ,1 j n
∈ − < ≤ ≤
ℂ

là đa đĩa mở tâm w, đa bán kính r. Bao đóng của
(
)
w;r
∆
được gọi là đa đĩa đóng
tâm w, đa bán kính r, và kí hiệu là
(
)
w;r
∆
.
1.1. Hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa. Hàm phức f xác định trên tập mở
n
D
⊂
ℂ
đượ
c g
ọ
i là ch
ỉ
nh
hình trong D n
ế
u m
ỗ
i
đ
i
ể
m
w
D
∈
có m
ộ
t lân c
ậ
n m
ở
U,
w
U D
∈ ⊂
, sao cho
hàm f có chu
ỗ
i khai tri
ể
n


( )
( )
1
1
1
1 1
0
( ) w w
n
n
n
v
v
v v n n
v v
f z a z z
∞
=
= − −
∑
(1.1)
hội tụ với mọi
z U
∈
.
Tập hợp tất cả hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là
D
O
.
Hàm f gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình theo mỗi biến và
các biến khác là cố định.
1.1.2. Định lí. (Bổ đề Osgood)
4
Nếu hàm phức f liên tục trong tập mở
n
D
⊂
ℂ
và là chỉ
nh hình theo t
ừ
ng
bi
ế
n thì nó ch
ỉ
nh hình trong D.
Chứng minh.
Chọn điểm bất kì
w D
∈
, và đ
a
đĩ
a
đ
óng
(w,r) D
∆ ⊂
. Vì f ch
ỉ
nh hình theo
t
ừ
ng bi
ế
n trong m
ộ
t l
ậ
n c
ậ
n m
ở
c
ủ
a
(w,r)
∆
nên áp d
ụ
ng Công th
ứ
c tích phân
Cauchy cho hàm m
ộ
t bi
ế
n, ta có công th
ứ
c tích phân Cauchy cho hàm nhi
ề
u bi
ế
n

( ) ( )
1 1 1 2 2 1 n n n
n
1 2 n
1 1 2 2 n n
w r w r w r
1 d d d
f z f
2 i z z z
−ζ = −ζ = −ζ =
 
ζ ζ ζ


= ζ




 
π ζ − ζ − ζ −
∫ ∫ ∫
(1.2)
với
(
)
z w,r
∀ ∈∆
.
Với z cố định bất kì, hàm dưới dấu tích phân trong (1.2) liên tục trên miền
compact lấy tích phân, do đó tích phân lặp trong (1.2) có thể được thay thế bởi
tích phân bội

( )
(
)
( ) ( )
j j j
n
1 2 n
1 1 n n
w r
f d d d
1
f z
2 i z z
−ζ =
 
ζ ζ ζ ζ


=




 
π ζ − ζ −
∫
(1.3)
Khi
đ
ó v
ớ
i
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh
(
)
z w,r
∈∆
, ta có chu
ỗ
i khai tri
ể
n

( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1 n
1 n
1 n
v v
1 1 n n
v 1 v 1
v v 0
1 1 n n
1 1 n n
z w z w
1
z z
w w
∞
+ +
=
− −
=
ζ − ζ −
ζ − ζ −
∑

h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t
đố
i và
đề
u v
ớ
i m
ọ
i
ζ
thu
ộ
c mi
ề
n l
ấ
y tích phân trong (1.3). Vì v
ậ
y
sau khi thay chu
ỗ
i khai tri
ể
n này vào trong (1.3) và thay
đổ
i th
ứ
t
ự
t
ổ
ng và tích
phân , d
ẫ
n
đế
n f có khai tri
ể
n chu
ỗ
i d
ạ
ng (1.1), v
ớ
i

(
)
( ) ( )
1 n
1 n
j j j
n
1 2 n
v v
v 1 v 1
1 1 n n
w r
f d d d
1
a
2 i
w w
+ +
−ζ =
 
ζ ζ ζ ζ


=




 
π
ζ − ζ −
∫
(1.4)
Do
đ
ó f là hàm ch
ỉ
nh hình. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
□

5
1.1.3. Định nghĩa. Ta định nghĩa các toán tử vi phân

1
2
j j j
i
z x y
 
∂ ∂ ∂
= −
 
 
∂ ∂ ∂
 
và
1
2
j
j j
i
x y
z
 
∂ ∂ ∂
= +
 
 
∂ ∂
∂
 
.
1.1.4. Định lí.
(Tiêu chu
ẩ
n Cauchy – Riemann)
Hàm ph
ứ
c f
đượ
c xác
đị
nh trong t
ậ
p m
ở

n
D
⊂
ℂ
và kh
ả
vi liên t
ụ
c theo các
t
ọ
a
độ
th
ự
c c
ủ
a
n
ℂ
là ch
ỉ
nh hình trong D n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u nó th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng
trình
đạ
o hàm riêng

( )
0, 1,2 , .
j
f z j n
z
∂
= =
∂
( 1.5)
Ch
ứ
ng minh.
T
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t kì thu
ộ
c D, xét f(z) nh
ư
là hàm m
ộ
t bi
ế
n v
ớ
i bi
ế
n
j
z
, xem
bi
ến khác như hằng số. Ta có
f(z) = u(z) +iv(z) và
( )
j
j j j j
u v u v
2 f z i
x y y x
z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
= − + +
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ 
∂
   
.
Do đó (1.5) tương đương với phương trình Cauchy – Riemann đối với từng
biến, suy ra hàm f chỉnh hình theo từng biến. Theo Bổ đề Osgood ta có điều phải
chứng minh.
□

1.1.5. Định lí.
Cho D là t
ậ
p m
ở
trong
n
ℂ
. Khi
đ
ó,

(i)
D
O
là m
ộ
t vành v
ớ
i phép toán

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
f g z f z g z fg z f z g z
+ = + =
.
(ii) Nếu f thuộc
D
O
và f(z) khác không trên D thì 1/f thuộc
D
O
.
(iii) Nếu f thuộc
D
O
và chỉ nhận giá trị thực hoặc có môđun không đổi thì f là
hàm hằng.
Chứng minh.
6
(i) Bằng tính toán trực tiếp, ta có

( )
( )
j j j
j j j
f g
f g
z z z
f g
fg g f
z z z
∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
(1.6)
Do
đ
ó
đ
i
ề
u kh
ẳ
ng
đị
nh (i)
đượ
c suy ra t
ừ

Đị
nh lí 1.1.4.
(ii) Áp d
ụ
ng (1.6) b
ằ
ng cách thay g b
ở
i
1
f
−
. suy ra

1
j
f
0 f
z
−
∂
=
∂
, suy ra 1/f thuộc
D
O
.
(iii) Nếu
D
f
∈
O
ch
ỉ
nh
ậ
n giá tr
ị
th
ự
c thì
j
f
x
∂
∂
và
j
f
y
∂
∂
c
ũng là giá trị thực.
Nhưng
j j
f f
i
x y
∂ ∂
=
∂ ∂
, vì vậy cả hai phải bằng 0 với mọi j,
1 j n
≤ ≤
. Do đ
ó f là
hàm h
ằ
ng. N
ế
u f có mô
đ
un không
đổ
i thì v
ớ
i
w D
∈
ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
i z
f e
θ
= ρ
, v
ớ
i
θ
là hàm giá tr
ị
th
ự
c trong lân c
ậ
n c
ủ
a w. Khi
đ
ó ta có

j j
f
0 i.f.
z z
∂ ∂θ
= =
∂ ∂
.
Suy ra
θ
là hàm ch
ỉ
nh hình và c
ũ
ng là hàm h
ằ
ng, suy ra f là hàm h
ằ
ng.
□

1.1.6. Định nghĩa. Cho D và D’ là các miền mở trong
n
ℂ
và
m
ℂ
tương ứng.
Biến trong D được kí hiệu là
(
)
1
, ,
n
z z
và biến trong D’ được kí hiệu là
(
)
1
w , ,
m
z
.
Ánh xạ
: '
G D
→
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i m hàm

(
)
(
)
1 1 1 1
w , , , ,w , ,
n m m n
g z z g z z
= =
.
Ánh x
ạ
G
ở
trên
đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình n
ế
u m hàm
1
, ,
m
g g
là ch
ỉ
nh
hình trên D.
7
1.1.7. Định lí. (Định lí ánh xạ hợp)
Nếu f(w) là hàm chỉnh hình trong D’ và
: '
G D D
→
là ánh xạ
ch
ỉ
nh hình
thì h
ợ
p thành f(G(z)) là hàm ch
ỉ
nh hình trong D.
Ch
ứ
ng minh.

Ta có

(
)
(
)
1 1 1 n m m 1 n
w g z , ,z , ,w g z , ,z
= =
(1.7)
Chia (1.7) thành hai ph
ần thực và ảo, bằng cách viết

(
)
(
)
(
)
j j j
g z u z iv z
= +
.
Vì t
ấ
t c
ả
các ánh x
ạ
này là kh
ả
vi theo t
ọ
a
độ
th
ự
c, theo qui t
ắ
c vi phân hàm
h
ợ
p ta có

(
)
(
)
m
k k
j j j
k 1
k k
f G z
f u f v
u v
z z z
=
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂



= +





∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
∑


m m
k
k
j j
k 1 k 1
k k k k
1 f f g 1 f f g
i i
2 u v 2 u v
z z
= =
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
= − + −
 
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
   
∑ ∑


m
k
k
j j
k
k 1
k
f g f g
w
z w z
=
 
∂ ∂ ∂ ∂



= +





∂
∂ ∂ ∂
 
∑
.
N
ế
u hàm f và ánh x
ạ
G c
ả
hai là ch
ỉ
nh hình thì
k
f
0
w
∂
=
∂
và
k
j
g
0
z
∂
=
∂
v
ớ
i t
ấ
t
c
ả
k, k = 1,2…,n. Vì v
ậ
y theo công th
ứ
c
ở
trên thì
(
)
(
)
j
f G z
0
z
∂
=
∂
, v
ớ
i t
ấ
t c
ả
j.
Theo Tiêu chu
ẩ
n Cauchy – Riemann thì f(G(z)) là ch
ỉ
nh hình. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i
ch
ứ
ng minh.
□

1.1.8. Định lí.
(
Đị
nh lí duy nh
ấ
t)


N
ế
u f(z) và g(z) là các hàm ch
ỉ
nh hình trong m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông
n
D
⊂
ℂ
,
8
và nếu f(z) = g(z) với mọi z thuộc tập mở khác rỗng
U D
⊂
thì f(z) = g(z) vớ
i
m
ọ
i
z D
∈
.
Chứng minh.
Từ (1.1), (1.3), (1.4), ta có

( ) ( ) ( )
1 n
1 n
1 n
v v
1 n v v
v v
1 n
f
v ! v ! a
z z
w
+ +
∂
=
∂ ∂
(1.8)
Gọi E là phần trong của tập bao gồm những điểm z mà f(z) = g(z). Vì E là
tập mở của D và
U E
⊂
nên E
≠
∅
. Ta chứng minh E là tập đóng tương đối
trong D. Xét điểm bất kì
w D E
∈ ∩
, với
E
là bao đ
óng c
ủ
a E. Ch
ọ
n r > 0
đủ

nh
ỏ

để

(
)
w;r, ,r D
∆ ⊂
. Vì
w E
∈
nên ph
ải tồn tại một điểm w’ sao cho
j j
r
w' w
2
− <
,
(
)
j 1,2, ,n
=

và
w' E
∈
. Chú ý rằng
(
)
w w';r / 2, ,r / 2
∈∆
. Hàm
f(z) - g(z) chỉnh hình trong
(
)
w'; r / 2, ,r / 2
∆
nên có thể khai triển thành chuỗi
lũy thừa hội tụ trên đa đĩa tâm w’. Vì
w' E
∈
nên hàm này phải là hàm đồng nhất
không trong lân cận mở của w’, và do (1.8) nên tất cả hệ số trong chuỗi này bằng
không. Vì vậy
(
)
(
)
f z g z 0
− ≡
trong
(
)
w'; r / 2, ,r / 2
∆
, do đó
w E
∈
. Suy ra E
là tập đóng tương đối trong D. Do E
≠
∅
, mở và đóng tương đối trong D nên E
= D. Ta có điều phải chứng minh.
□

1.1.9. Định lí. (Định lí môđun cực đại)
N
ế
u f(z) là hàm ch
ỉ
nh hình trong m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông
n
D
⊂
ℂ
và n
ế
u có
m
ộ
t
đ
i
ể
m
w
D
∈
sao cho
(
)
(
)
w
f z f
≤
với mọi z thuộc một lận cận mở nào đó
của w thì
(
)
(
)
w
f z f
≡
với mọi
z D
∈
.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng cách sử dụng Định lí môđun cực đại của hàm một biến.