Một số bài toán về lập PT Tổ hợp

Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Dạng 9
Một số bài toán về lập phương
trình tổ hợp
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Nội dung

Dạng 9. Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp
•
Dạng 9A. Bài toán về tìm cấp số cộng
•
Dạng 9B. Một số bài toán về hình học
•
Dạng 9C. Bài toán về tam giác
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Dạng 9A
Bài toán về tìm cấp số cộng
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập mẫu
Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau
Giải
Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và
chỉ khi
0 1 2 14
14 14 14 14
C ,C ,C , ,C
+ +
n n 1 n 2
14 14 14
C , C , C
+ +
= +
n 1 n n 2
14 14 14
2C C C
+ + + + + + +
+ +
⇔ = + + + ⇔ = +
⇔ = ⇔ =
+ − + −
⇔ ⇔
÷ ÷
n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2
14 14 14 14 14 14 15 15
n 1 n 2
14 16
2
4 5 6 8 9
14 14 14 14 14 1
4C C C C C 4C C C
4.14! 16!
4C C
(n 1)!(13 n)! (n 2)!(14 n)!
Suy ra (n + 2)(14 - n) = 60 n -12n+32=0 n = 4 ; n = 8
Ta c C ,C ,C v C ,C ,C®­î µ
10
4
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập tương tự
Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau
Giải
Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi
và chỉ khi
0 1 2 23
23 23 23 23
C ,C ,C , ,C
+ +
n n 1 n 2
23 23 23
C , C , C
+ +
= +
n 1 n n 2
23 23 23
2C C C
+ + + + + + +
+ +
⇔ = + + + ⇔ = +
⇔ = ⇔ =
+ − + −
⇔ ⇔
÷ ÷
n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2
23 23 23 23 23 23 24 24
n 1 n 2
23 25
2
8 9 10 13
23 23 23 23
4C C C C C 4C C C
4.23! 25!
4C C
(n 1)!(22 n)! (n 2)!(23 n)!
Suy ra (n + 2) (23 - n) = 150 n -21n+104=0 n = 8 ; n = 13
Ta c C ,C ,C v C ,C®­î µ
14 15
23 23
,C
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Lưu ý:

Một số tình huống thường gặp khi lập phương trình tổ hợp là:
•
Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và
chỉ khi 2b = a + c (hoặc b
2
= ac ).
•
Cho tập hợp A có n phần tử, số tập con của A gồm x phần tử bằng k
lần số tập con của A gồm y phần tử, tương ứng với phương trình
,
x y
n n
C kC
=
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Dạng 9B
Một số bài toán về hình học
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập mẫu
Cho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập
hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập
hợp các đỉnh của đa giác đó. Hãy tìm n.
Giải
Cứ 3 trong số 2n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác là
Mặt khác đa giác đều 2n đỉnh có n đường kính của đường tròn ngoại tiếp
đa giác và cứ hai đường kính bất kỳ tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số
hình chữ nhật bằng số cách chọn 2 trong n đường kính, suy ra số hình chữ
nhật là
Ta được phương trình:
Biến đổi phương trình:

Thực hiện rút gọn, ta được 2n – 1 = 15 hay n = 8. Đáp số n =8.
3
2n
C .
2
n
C .
=
3 2
2n n
C 20.C .
− − −
= ⇔ = ⇔ =
− −
3 2
2n n
(2n)! 20.n! 2n(2n 1)(2n 2) 20.n(n 1)
C 20.C
3!(2n 3)! 2!(n 2)! 6 2
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Lưu ý:

Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập gồm n điểm là

Số hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của một đa giác
đều 2n đỉnh là

Cho một tập hợp gồm n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng thì số đường thẳng (mỗi đường thẳng đi qua hai trong số các điểm
thuộc tập hợp đó) là

Cho một tập hợp gồm n đường thẳng, trong đó không có ba đường
thẳng nào đồng quy thì số giao điểm của chúng là
3
n
C .
2
n
C .
2
n
C .
2
n
C .
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập tương tự
Cho một đa giác đều có 2n+1 đỉnh, tìm n, biết rằng số hình thang cân có 4
đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó bằng 476.
Giải
Đường thẳng qua mỗi đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện là một trục đối
xứng của đa giác. Mỗi bên của trục đối xứng đó có n đỉnh. Cứ hai trong số n
đỉnh đó cùng với hai đỉnh đối xứng qua trục trên tạo thành một hình thang cân
Số hình thang cân tương ứng với một trục đối xứng là . Vì có tất cả 2n+1
trục đối xứng nên số hình thang cân là
Ta được phương trình
Biến đổi phương trình:
Phương trình có nghiệm duy nhất n = 8. Đáp số n =8.
2
n
C
( )
+
2
n
2n 1 C .
( )
+ =
2
n
2n 1 C 476.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
+
+ = ⇔ =
−
+ − = ⇔ − − − = ⇔ − + + =
2
n
3 2 2
2n 1 .n!
2n 1 C 476 476
2! n 2 !
2n 1 .n n 1 952 2n n n 952 0 (n 8) 2n 15n 119 0
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Dạng 9C
Bài toán về tam giác
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập mẫu:
Cho hai đường thẳng song song với nhau (d
1
), (d
2
). Trên (d
1
) có 15 điểm,
trên (d
2
) có n điểm. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp
các đỉnh đã cho là 3825.
Giải
Cứ mỗi điểm trên (d
1
) và hai điểm trên (d
2
) tạo thành một tam giác. Số tam
giác như thế là Tương tự cứ mỗi điểm trên (d
2
) và hai điểm trên (d
1
)
tạo thành một tam giác. Số tam giác như thế là
Theo quy tắc cộng, ta được số tam giác tạo thành là
Ta được phương trình
Biến đổi phương trình
Giải phương trình, ta được n = -30 (loại), n =17 (nhận). Đáp số n =17.
2
n
15.C .
+
2 2
n 15
15.C n.C .
+ =
2 2
n 15
15.C n.C 3825.
( )
+ = ⇔ + = ⇔ + =
−
− + = ⇔ + − =
2 2
n n
2
n!
15C 105n 3825 C 7n 255 7n 255
2! n 2 !
n(n 1) 14n 510 n 13n 510 0
2
15
n.C .
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp

Lưu ý
•
Cho hai đường thẳng song song với nhau (d
1
), (d
2
). Trên (d
1
) có n
điểm, trên (d
2
) có m điểm. Số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các
đỉnh đã cho là
+
2 2
n m
m.C n.C .
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Bài tập tương tự
Một đa giác lồi có n đỉnh. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh thuộc
tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác
đó bằng 156.
Giải
Cứ ba trong số n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác tạo
thành một cách bất kỳ là . Ta tính số tam giác có ít nhất một cạnh của đa
giác.
Tính số tam giác có một cạnh của đa giác: Ứng với một cạnh của đa giác có
n - 4 tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác. Suy ra số tam giác có một
cạnh của đa giác là n(n - 4).
3
n
C

Xem chi tiết: Một số bài toán về lập PT Tổ hợp